Heisenbergův princip neurčitosti a ohyb na štěrbině

Stáhnout text ve formátu doc.

1. Fyzikální základ

Heisenbergův princip neurčitosti říká, že poloha a hybnost jedné libovolné částice nemohou být stanoveny současně s nekonečnou přesností. Mějme např. foton hmotnosti m a hybnosti p. Změříme-li jeho polohu s neurčitostí Δy a současně jeho hybnost ve stejném směru s neurčitostí Δpy, pak podle Heisenbergova principu neurčitosti musí platit, že
(1)
kde h = 6,6262·10–34 J·s je Planckova konstanta.

Proveďme experimentální ověření platnosti Heisenbergova principu pomocí průchodu fotonů štěrbinou. Na štěrbinu o šířce d nechme kolmo (ve směru osy x) dopadat fotony z laseru (obr. 1). Jejich hybnost p má složky px = mcpy = 0, kde m je hmotnost fotonu a c = 3,00·108 m·s−1 je rychlost světla.
obrazek1.gif, 143,5 kB
Obr. 1:  Geometrie ohybového jevu na štěrbině (Š – štěrbina, S – stínítko).
obrazek2.gif, 117 kB
Obr. 2:  Hybnost fotonu při ohybu na štěrbině.

Po průchodu fotonů štěrbinou šířky d vlastně proběhne měření jejich polohy ve směru osy y. Poloha fotonu po průchodu štěrbinou je dána polohou štěrbiny y s neurčitostí stanovení polohy Δy = d (je tomu skutečně tak, protože fotony, které prošly štěrbinou a nachází se za stínítkem, musely mít v jednom okamžiku polohu y ± d/2). Skutečně tedy platí
Δy = d . (2)

Všimněme si hybnosti fotonu za štěrbinou. Zatímco foton před štěrbinou pohybující se kolmo na štěrbinu má hybnost px = mc pouze ve směru osy x (obr. 2), po průchodu štěrbinou má hybnost i ve směru y, a to py (obr. 2). Vezměme polohu prvého minima ohybového jevu jako míru neurčitosti stanovení hybnosti fotonu ve směru osy y, neboli (obr. 2)
(3)

Jak je velký úhel rozptylu αmin1? Foton je částice s hmotností m a hybností p. Z vlnových vlastností fotonu např. jeho vlnová délka je podle de Broglieovy relace nepřímo úměrná velikosti jeho celkové hybnosti p
(4)
platí tedy spojením rovnic (3) a (4) rovněž pro neurčitost hybnosti
(5)
S využitím geometrie na základě obr. 2 platí
 
a pro neurčitost hybnosti konečně dostáváme
(6)
kde jsme využili geometrii polohy prvého minima z obr. 1.

Dosadíme-li nyní do Heisenbergova principu neurčitosti (1) výrazy pro neurčitost polohy Δy ze vztahu (2) a neurčitost hybnosti Δpy ze vztahu (6), dostaneme
(7)
Platí-li tedy Heisenbergův princip neurčitosti pro fotony, musí platit nerovnost (7), o čemž se můžeme přesvědčit dosazením velikosti veličiny d, kterou zjistíme z experimentálně získané hodnoty polohy prvého minima. Můžeme postupovat i tak, že na základě měření a zadaných veličin určíme s pomocí rovnice (2) Δy a pomocí rovnice (6) Δpy, a pak s využitím rovnice (1) ověříme platnost Heisenbergova principu neurčitosti tak, že určíme přibližnou velikost jedné ze základních fyzikálních konstant – Planckovy konstanty.

2. Experiment

Jako zdroj monochromatického a koherentního záření použijeme laser s vlnovou délkou λ1 = (632 ± 10) nm a λ2 = (532 ± 10) nm. Jeho záření dopadá na štěrbinu. Rozdělení intenzity záření laseru za štěrbinou v ohybovém obrazci je měřeno pomocí polovodičové fotodiody umístěné ve vzdálenosti a = (2152 ± 1) mm od štěrbiny (viz obr. 3) a dále s využitím zesilovačů a systému ISES. K němu je rovněž připojen XY zapisovač, který umožňuje snímání průběhu intenzity ohybového jevu. Schématické uspořádání pokusu je na obr. 3.

obrazek3.gif, 250,5 kB
Obr. 3:  Uspořádání pokusu ohybu na štěrbině snímaného systémem ISES a přenášeného po Internetu.

Průběh intenzity ohybového jevu je pak možno využít pro zjištění velikosti mikroobjektu – v našem případě šířky štěrbiny, a to s využitím rovnice (1) nebo ze znalosti poloh minim, případně maxim intenzity světla a rovnic (3), příp. (4). Na obr. 4 je příklad naměřených dat proložených právě zmíněnou závislostí (1) pomocí programu Origin 7.5. Poslední čtyři odkazy na rovnice se týkají úlohy Ohyb elektromagnetického záření na mikroobjektech.
obrazek4.gif, 284,5 kB
Obr. 4:  Příklad rozložení intenzity světla při ohybovém jevu na štěrbině; byl použit laser s λ1 = 628,10 nm (d = 180 μm), červená křivka je proložení optimalizačním programem (Origin 7.5).

3. Zadání

  1. Seznamte se s experimentem „Ohyb elektromagnetického záření na mikroobjektech“ (v našem případě se jedná o štěrbinu) a potřebnou teorií na adrese
    http://kdt-13.karlov.mff.cuni.cz/sterbina.html.

  2. Proveďte detailní měření průběhu rozložení intenzity světla ve vzdálenosti a = (2152 ± 1) mm od štěrbiny. Měření proveďte pro oba zdroje světla (červený laser s vlnovou délkou λ1 = (632 ± 10) nm a zelený λ2 = (532 ± 10) nm) a pro obě velikosti štěrbin. Určete polohu prvého minima.

  3. Na základě výsledků měření a  nerovnice (7) ověřte platnost Heisenbergova principu neurčitosti (1), případně určete velikost Planckovy konstanty.